Matematikte Karar Verme Problemi II : Church,Turing ve Chaitin

Matematikte Karar Verme Problemi II :  Church,Turing ve Chaitin

Gödel 1931’de aritmetiğin tüm doğru önermelerini biçimsel bir dizgeden türetme girişimi olan formalist programın içerdiği özsel eksiklikleri gösterdikten sonra Hesaplanabilirlik kuramı içerisinde
Turing ve Church, enformasyon kuramı içerisinde de Chaitin Gödel’in biçimsel dizgeler için ileri sürdüğü sınırlılıkları kendi alanlarında göstermiştirler ve Turing ve Chaitin’in yaptığı gibi
Eksiklik teoremlerini geniş bir tümdengelimli biçimsel dizge topluluğu için daha genel bir biçimde kanıtlamışlardır.

Chaitin Gödel’in kanıtlamasını onun kullandığından farklı bir paradoksla yeniden inşa ederek ve bunu bilgiyi en kısa programla ifade etmek için bir karar yordamının bulunmadığını göstererek , Church ve Turing ise mekanik olarak hesaplanamaz fonksiyonların varlığını göstererek Gödel’in başlattığı projeye kendi alanlarında katkıda bulunmuşlardır.

Bu çalışmada Gödel’in çalışmasını hesaplanabilirlik kuramı ve enformasyon kuramı içerisinde ele alacak ve çalışmanın birinci kısmı olan Gödel ile ikinci kısmı olan Church, Turing ve Chaitin’in çalışmalarını bir araya getirerek bu üç yaklaşımı ana hatlarıyla birlikte ortak bir düşünsel mimariyi oluşturmak üzere birleştireceğim.



Çalışmanın bu bölümünde anlatımın akışına zarar verecek ancak yer verilmezse de çalışmanın anlaşılmasını zorlaştıracak açıklamaları Ekler bölümüne koymayı uygun gördüm. Hedefimiz yalnızca bir bilgi aktarımından öte bu bilgiyi felsefe içinde inşa etmek ve felsefenin kavramlarıyla anlamlandırmaktır. Bunu yaparken gerekli olduğu için bu üç yaklaşımı kısaca anlatmaya ve yazarlardan alıntılarla bu anlatımı beslemeye çalıştım. 

Sonuç ve Tartışma bölümünde ise konuyu artık felsefi bir arenaya taşıyarak bu sonuçların matematiğin temelleriyle ilgili tartışmamıza ne gibi katkılarda bulunduğunu belirttim. Bu bölüm, sonuç itibariyle hem birinci çalışmamın hem de ikinci çalışmanın sonuçlarının bir arada değerlendirildiği bir bölüm olarak iki çalışmanın da özünü ve felsefi sonuçlarını yansıtmaktadır.

Turing genel bir matematik problemleri sınıfı için kendi soyut matematik tasarımı olan Turing makinelerince çözüleyemecek şekilde örgütlenmiş hesaplanamaz fonksiyonların varlığını göstererek, algoritmik olarak çözülebilen matematik problemleri sınıfının sınırını belirlemiştir.

Hilbert matematiğin tüm problemlerini ardı ardına çözebilecek genel bir mekanik yöntemin olup olmadığını pratik olmasa da en azından ilke olarak var olup olmadığını sormaktaydı.

Ancak, bir mekanik yöntemden ne kastedildiğini tam olarak açıkladıktan sonra Turing, iyi tanımlı ama normal anlamda mekanik denmeyecek bazı matematik işlemlerin varlığını göstermiştir. Soyut bir hesap makinesi tasarımlayıp bu türden makinaları, sadece bir sayı listesini okuyup bir başka listeye dönüştürme yetileri ile tanımlayarak, onların nihai yetilerinin ne olacağını bilmek istemiştir.

 Gödel’inkine benzer bir argümanla, ‘bilgisayar’ın sonlu sayıdaki işlem ile hiçbir zaman yanıtlayamayacağı matematiksel sorular olduğunu ortaya koydu: Bilgisayarın ancak sonsuza kadar çalışmakla çözebileceği matematiksel problemler vardı.

İlke olarak algoritma veya genel hesap yöntemi, sayılar ne kadar olursa olsun, yine aynıdır. Büyük sayılar söz konusu olduğu zaman, yöntem gerçekten çok uzun zaman alabilir ve hesapları yapabilmek için önemli miktarda ‘müsvedde kağıdı’ gerekebilir. Fakat sayılar ne kadar büyük olursa olsun algoritma yine aynı sonlu komutlar kümesinden ibarettir

Bunu veri kümesi ne kadar büyük olursa olsun tekrar eden bir örüntü, kalıp olarak görebiliriz. Algoritmanın çözüm yöntemi örneklemin büyüklüğünden bağımsızdır, çalışma şekli aynıdır. Eğer bir problemin algoritmik çözümü olduğunu ispatlarsak bu çözüm —eğer problemin karakteristiği değişmemişse­­ —farklı ölçekteki tüm versiyonları için de geçerli olacaktır.

Turing makinesi kavramını Penrose şöyle özetlemektedir:

‘Algoritma’ ismi ve ‘hesaplanabilir’ ‘yinelenebilir’ ve ‘etkin’ gibi sıfatların hepsi, Turing makineleri gibi teorik makineler tarafından gerçekleştirilebilen mekanik işlemleri tanımlamak için matematikçiler tarafından kullanılır. Matematiksel olarak bir mekanik işlem, böyle bir cihazla yapılabilecek işlem olarak tanımlanabilir.

Bir yöntem yeterince kesin ve mekanik ise, bu yöntemi uygulayacak bir Turing makinesinin gerçekten bulunabileceğine inanmak zor değildir.


Bir Turing makinesi kavramının mekanik olarak adlandırabileceğimiz her mantıksal veya matematiksel işlemi kapsayıp kapsamadığını kendimize sorabiliriz.

Church-Turing tezi adı verilen ortak görüşte, Turing makinesi kavramının, matematik açısından, algoritmik bir yöntemle (veya etkin veya tekrarlı veya mekanik yöntemlerle) anlatmak istediğimiz kavram olduğu vurgulanmıştır.

Turing makinesince üretilebilen sayılara hesaplanabilir sayılar adı verilirken, üretilemeyen sayılar (büyük çoğunluğu oluşturan sayılar!) hesaplanamaz sayılar olarak adlandırılırlar.      (Penrose, 1998, s. 55-59

O halde, bir sistem içinde bir önermenin doğruluğunun gösterilebilmesi ile o işi yapan bir algoritmanın (Turing Makinası) var olmasını denk sayacağız. Hemen belirtelim ki, Turing, Gödel’in eksiklik teoremini daha genel olarak kanıtlamıştır. Bir formal sistemde ancak sayılabilir sayıda teoremi ispatlayan algoritma kurulabilir. Sayılamayan sonsuz sayıda teoremin ispatı için algoritma kurulamaz.

PM (Principia Mathematica)’nın gücüne sahip herhangi bir biçimsel dizgede teoremlik için karar verme yordamına sahip olmanın mümkün olmadığı önermesi Church’un teoremi olarak bilinir. Farklı kuvvetteki versiyonları ve farklı cephelerden farklı çıkarımları vardır ancak şimdilik bunu sonuç bölümüne bırakarak devam edeceğiz.

Gelelim Turing’in tezinin temelini oluşturan sava… Hilbert’in geniş kapsamlı Entscheidungsproblem’i: Geniş kapsamlı, fakat iyi tanımlanmış bir sınıfta bulunan tüm matematik problemlerini çözümlemek için mekanik bir yöntem var mıdır ?

Turing bu soruyu m sayısına uygulanan Tn makinesinin gerçekten STOP konumuna geçip geçmeyeceğine karar vermek problemi olarak yorumlamış, problem, durma problemi adıyla anılmıştır.

Hangi sayı verilirse verilsin (örneğin n = 11) makinenin her zaman durmasını sağlayan birçok komut listesi de vardır; bazı Turing makineleri bazı sayılara işlem yapınca dururken, diğer bazı sayılar işlem yaptıklarında asla durmazlar. Durmaksızın sonsuza kadar uzayıp giden kuramsal bir algoritmanın pek bir yararının olmadığı söylenebilir. Böylesi bir algoritma bile değildir. Bu nedenle m sayısına uygulanan Tn’in yanıt verip vermeyeceğine karar verebilmek önemli bir sorudur! 

(Penrose, 1998, s. 74)

Turing makinelerinin ne zaman duracağı matematikte önemli bir konudur. Mekanik yöntemlerle çözülmesi mümkün gözüken Fermat’ın son teoremi ve Goldbach hipotezinin kanıtlanması buna örnek olarak verilebilir. Eğer hangi sayıya işlem yapılınca durup hangisine yapılmayacağını bilirsek uzun yıllardır çözülememiş problemleri çözme olanağımız da olacaktır.

Öyleyse, genel soruyu –yani durma problemini- tamamen otomatik olarak yanıtlamak için algoritmik bir yöntem var mıdır ? Böyle bir yöntemin gerçekten bulunmadığını Turing göstermiştir.[1]

Tek tek problemlerin çözümsüzlüğünden değil genel bir problemler sınıfının genel bir algoritmik çözümsüzlüğünden bahsetmemiz ilginizi çekmiştir. Gödel’in PM gibi aritmetiği de içeren geniş kapsamlı aksiyomatik dizgeler için gösterdiği karar verilemez önermelerin varolduğu şeklindeki kanıtın benzerini Turing hesaplanabilir kuramı içerisinde mekanik olarak hesaplanamaz matematiksel fonksiyonları göstermek için vermiştir.

Turing’in üzerinde çalıştığı dizge tamamıyla biçimseldir ve her sayı dizisinin işlevi stereotipiktir ancak o, Cantor’un köşegen yöntemini ve matematikçilerin uzun yıllardır bildiği olmayana ergi ( Reductio Ad Absurdum) yöntemini kullanarak Turing makinesin sonsuza kadar çalışsa da çözemeyeceği problemlerin var olduğunu kanıtlamıştır.

Şimdi Durma problemine tekrar dönelim ve daha sonra da bu problemin ve Turing’in algoritmik olarak karar verilebilir olmayan matematiksel problemleri kanıtlamasının matematik felsefesi için çıkarımlarını analiz edelim.

Hesaplanabilen sayıların sayılabilir olduklarını aklımızda tutalım. Bunları saymak için, reel sayıların her birini üreten Turing makinelerini sıraya koyup saymamız yeterlidir. Turing makineleri sayılabilir olduğuna göre, hesaplanabilir reel sayılar da sayılabilmelidir. Neden bu listeye köşegen yöntemini uygulayıp listede bulunmayan yeni bir hesaplanabilir sayı bulamayız ?

 Bunun yanıtı genelde, bir Turing makinesinin listede bulunup bulunmadığına hesaplanabilir bir şekilde karar verilememesidir. Karar verilebilmesi, durdurma problemini çözebilmemize bağlıdır.

Bazı Turing makineleri bir reel sayının ondalık basamaklarını tam verirken takılır ve artık başka bir ondalık basamak vermezler (çünkü, yanıt vermek için duramazlar). Hangi Turing makinesinin böyle takılacağını önceden hesaplayarak söylemenin yolu yoktur. Durdurma problemi adı verilen problem temelde budur.

Matematikte hesaplanabilir olmayan fonksiyonlara birkaç örnek verelim. Örneğin, iki hesaplanabilir sayının bir diğerine eşit olup olmadığına karar vermek bile genelde hesaplanabilir bir iş değildir. Bunlar ek olarak karo kaplama problemi ve genel sözcük problemi bu türden örneklerdir. Bu problemlerin algoritmik bir çözümü yoktur.

Gödel’in PM ile ilgili çalışması bize tüm aritmetik doğrular için, biçimsel dizge içinde doğru tamdeyimleri dizgenin teoremi olarak veren yanlış önermeleri ise aksiyomlarımızdan çıkarımlanmasını engelleyerek —dizge dışı bırakarak— aksiyomatik bir karar verme programı oluşturmanın imkansızlığını göstermişti.

Turing ve Church ise bunu tüm doğru matematiksel fonksiyonlar için mekanik bir hesaplama yönteminin olmadığını göstererek dolayısıyla tüm matematiksel fonksiyonların Turing makinesi tarafından üretilemeyeceğini ispatlayarak hangi işlemin durup durmayacağını söyleyebilmemizi engelleyen bir karar verilemezlik durumunu saptamışlardır.[2]

Hesaplanabilirlik kuramı ve matematiksel mantık içerisinde üretilebilen bu kanıtlamanın birden fazla alan için yeniden inşa edilebilir ve birbirine haritalanabilir olmasının temel nedeni Gödel’in savının herhangi bir matematiksel yapının karakteristikleriyle ilgili olmasıdır. Çünkü sayılar herhangi bir yapıyı temsil edebilir ve sayıları yalnızca etiket olarak görerek biz bir kanıtlamayı eğer yeterince biçimsel ise yapısal olarak eşbiçimli diğer organizasyonlar için de geçerli kılabiliriz.

Biçimsel bir dizge aracılığıyla kesin ve tam bir karar verme organı oluşturmanın matematikteki işlevi hakkında Penrose şöyle diyor:

Biçimsel matematiksel sistemin başlıca özelliği, verilen bir matematiksel önerme ile ilgili simgeler dizisinin, sistem çerçevesinde, bir kanıt oluşturup oluşturmadığına karar vermek işleminin hesaplanabilir olmasını gerektirmesidir. Matematiksel kanıt düşüncesinin biçimselleştirilmesinde yegane amaç, ne de olsa, geçerli bir uslamlama yöntemi için karar almak zorunda kalmamaktır. Önerilen kanıtın gerçekten bir kanıt olup olmadığını, tümüyle, mekanik ve önceden belirlenmiş bir yöntemle kontrol etmek mümkün olmalıdır; başka bir deyişle, kanıtları kontrol eden bir algoritma bulunmalıdır.     (Penrose, 1998, s. 135)

Ancak diyor Penrose hem Gödelin hem de Turing’in açıkça gösterdiği gibi bu yaklaşım artık rağbet görmemektedir. O, matematiksel işlemleri yalnızca algoritmik yönden ele alan ve tüm matematiksel tasarımları mekanik hesaplamaya indirgeyen görüşün savunulamaz olduğunu düşünüyor. Ve matematiksel işlemlerin tekdüzeliğine karşın yalnızca iyi matematikçilere bahşedilmiş tanrısal bir sezgiden bahsediyor. Bir matematiksel doğruluğun biçimsel saptamasının “anlama” olmaksızın yalnızca kısmi veya yaklaşık bir rehber olacağını ileri sürmektedir. Anlamanın ise yalnızca algoritmik işlemlerle başarılamayacak bir yeti olduğunu ekliyor.

Bu tartışmayı şimdi yarıda kesmek zorundayım ancak Enformasyon kuramı içerisinde Gödel’in savını başka bir paradoksla yeniden inşa eden ve enformatik sistemler için doğal bir verimlilik sınırı getiren Chaitin’in çalışmasına değindikten sonra tüm bu sonuçları derleyip toplayıp felsefi bir incelemeyle bitireceğiz.

Gleick enformasyonu ölçme yöntemlerinden bahsettikten sonra enformasyonun ölçümüne ilişkin algoritmik yaklaşımı ele alır ve Turing, Gödel ve Chaitin aynı sahada buluşturulmuş olur.

π sayısı neden rastgele bir sayı değildir ? diye sorar Gleick. Chaitin bu soruya net bir yanıt verir Eğer bir sayı hesaplanabilir ise –yani tanımlanabilir bir bilgisayar programı onu üretebiliyorsa– rastgele değildir. Dolayısıyla, hesaplanabilirlik özelliği rastgelelik ölçüsüdür.

Eğer belli bir örüntü veya kalıp işlem boyunca tekrar ediyorsa bu tekrar işleminin algoritması alınabilir ve daha kısa bir yolla aynı sonucu elde ederiz. Biz bu işleme algoritmik sıkıştırma diyelim ve algoritmanın boyutlarının enformasyon miktarı hakkında bize fikir verdiğini aklımızda tutalım. Gleick’e göre enformasyonu en kısa algoritma boyutuyla tanımlamak hesaplanabilir matematiksel fonksiyonların doğasını aydınlattığı gibi enformasyonun tatmin edici bir tanımını da vermektedir.

Şöyle diyor Gleick:

Turing’e göre hesaplanabilirlik bir evet-hayır niteliği taşıyordu –belli bir sayı ya vardır ya yoktur. Ama bazı sayıların diğerlerine göre daha rastgele –daha az kalıplı, daha az düzenli– olduğu görüşündeydi. Chaitin kalıpların ve düzenlerin hesaplanabilirliğe yol açtığını söyledi.

Algoritmalar kalıp üretir. Öyleyse algoritmanın boyutlarına bakarak hesaplanabilirliği ölçeriz. Bir sayı verildiğinde –herhangi bir uzunluktaki bir dizi halinde– onun üretebileceği en kısa programın uzunluğu nedir, sorusunu yöneltebiliriz. Bu soruya Turing makinesinin diliyle , bitlerle ölçerek, net bir yanıt verilebilir.

Chaitin’in rastgeleliğe ilişkin algoritmik tanımı aynı zamanda enformasyona ilişkin de algoritmik bir tanım getiriyor: Algoritmanın boyutları belli bir dizinin içerdiği enformasyon miktarını da verir. Bir nesne ne kadar basitse taşıdığı enformasyon o kadar az olur. Karmaşıklık ne kadar yüksek olursa, enformasyon da o kadar fazla olur. 

(Gleick, 2014, s. 297)

Gregory Chaitin gibi, Kolmogorov da karmaşıklığı algoritmalarla hesaplayarak, fikrini sağlam bir matematiksel zemine oturttu. Bir nesnenin karmaşıklığı onu üretmek için gereken en küçük bilgisayar programının boyutudur. Kısa bir algoritmayla üretilebilen bir nesnenin karmaşıklık düzeyi düşüktür. Öte yandan, her biti nesnenin kendisi kadar uzun bir algoritma gerektiren bir nesnenin karmaşıklığı maksimum düzeydedir. Basit bir nesne birkaç bitle üretilebilirdi –ya da hesaplanabilir, ya da tanımlanabilirdi. Karmaşık bir nesne ise pek çok bitlik bir algoritma gerektiriyordu. Bu şekilde koyunca gayet açık görünüyordu.

Karmaşıklığı en kısa algoritmayla da, en kısa program boyutuyla da hesaplamanın mümkün olduğuna dikkat edin. Bir matematikçinin ölçümüyle bir bilgisayarın enformasyon ölçümü arasında hiçbir fark yoktur. Bilginin nicelikselleştirilmesi önemli bir yol ayrımıdır zira biz rastgele tanımlanmış bir sayı dizisini, siyasi bakımdan önemli bir şifreyi veya telgrafla gönderilen önemli bir mesajı çözmeye çalıştığımızda onun içerdiği bilgiyi içerik olarak kurmaya, anlamaya ve iletmeye çalışırız. Oysa enformasyon kuramı onu içeriğinden bağımsız olarak herhangi bir sayı dizisinden ayrı tutmaz ve niceliksel bakımdan içerdiği enformasyonu, algoritmik enformasyon yaklaşımına göre bir insan da , bir makine de ölçebilir.

Chaitin ve Kolmogorov’un karmaşıklığı algoritmik bir tarzda ele alışının enformasyon kuramı açısından sonuçlarını Gleick şu sözlerle özetliyor:

Kolmogorov’un ileri sürdüğü nesnenin karmaşıklığı, onu üretmek için gereken, bitlerle ifade edilen en kısa algoritma boyutuydu. Bu aynı zamanda enformasyonun da boyutuydu. Ve yine rastgelelik derecesiydi –Kolmogorov “düzenlilik yokluğu şeklindeki doğal rastgelelik varsayımına eşanlamda, ‘rastgele’ kavramına ilişkin yeni bir anlayış” ortaya koydu. Üçü de özünde birbirine eşti: Enformasyon, rastgelelik ve karmaşıklık– gizli aşıklar gibi birbirinden kopamayan üç güçlü soyutlama. (Gleick, 2014, s. 301)

Chaitin’in enformasyon kuramı için Gödel kanıtlamasını yalancı paradoksu yerine Berry paradoksuyla yeniden kurduğun söylemiştik. Chaitin bir sayı dizisi verildiğinde onun karmaşıklığını en kısa program boyutuyla hesaplama şeklindeki yöntemin kesin ve tam olmadığını bir sayı dizisi ne kadar kalıpsız ve rastgele görünürse görünsün sürprizlerin her zaman mümkün olduğunu ve en kısa program boyutu için verilen matematiksel sonuçtan hiçbir zaman emin olamayacağımızı göstermiştir.[3]

Gleick Chaitin’in bu sonuçlardan çıkardığı dersleri şöyle sıralıyor:

Çoğu sayı rastgeledir. Yine de çok azının rastgele olduğu kanıtlanabilir.
Bir kaotik enformasyon akışı bile basit bir algoritmayı gizleyebilir. Kaostan algoritmaya geri gitmek olanaksız olabilir.
Termodinamik için entropi neyse, matematik için de Kolmogorov-Chaitin (KC) karmaşıklığı odur: Mükemmelliğin panzehiri. Nasıl devridaim makinemiz olamazsa, tam formel aksiyon sistemlerimiz de olamaz.
Bazı matematik olguları nedensiz doğrudur. Bir nedenden ya da derin anlamdan yoksun olarak, tesadüfen vardırlar. (Gleick, 2014, s. 306)

Kolmogorov bir sayı dizisinin veya veri kümesinin karmaşıklığını ölçmek istiyordu, Chaitin ise Gödel’in kanıtlamasını derinleştirmek ve enformasyon kuramı içerisinde ona yer vermek istiyordu. Tüm bu çabalar sonunda hepsi minimal program boyutu etrafında birleştiler ve rastgelelik, karmaşıklık, hesaplanabilirlik ve enformasyon artık aynı yöntemle ölçülebilir hale geldi.

Bu bir matematik organizasyonun artıklıklardan ve anlam karışıklığından ayrılarak içerdiği bilginin yalnızca niceliksel olarak ölçülmesini sağladı ve minimal program boyutu ölçümü yöntemiyle şimdi biz bir sayı dizisi verildiğinde onu bu 3 ayrı özellik bakımından inceleyebilmekteyiz. Ancak yine de bu yöntemin de kendi içsel sınırlılıkları var. Chaitin’in de gösterdiği gibi biz bir veri setine baktığımızda her ne kadar kalıpsız, yinelgen olmayan bir yapı görsek de bunu tüm örnekler için kanıtlamak mümkün değildir.

Bu sonuçların teknoloji açısından çıkarımlarına odaklanan Barrow şunları söylüyor:

Saptanabilir olmama, uzak gelecekteki makinaların verimliliğine sınırlar koyacaktır. Örnek olarak, günümüzde pişirme için kullanılan gaz fırınlarını ele alalım. Fırın, içerideki sıcaklığı öğrenip, kontrol panosuna programlanmış direktifler aktaracak şekilde tasarlanmış mikro-işlemcilerle donatılmıştır. Mikro- işlemciler, bilgileri, üstüne yeni bilgiler ya da direktifler yazılıncaya kadar, geçici olarak depolar.

Bu bilgi mikro- işlemcide ne kadar verimli olarak kodlanır ve depolanırsa, fırın da o ölçüde verimli çalışır; çünkü belleğindeki depolama direktiflerini silme ve tekrar yazma gibi gereksiz işlemler en aza indirilmiştir. 

Ancak Chaitin’in araştırmaları, Gödel teoreminin, bir programın verilen bir işi yapacak en kısa program olup olmadığını hiçbir zaman bilemeyeceğimiz ifadesi ile denk olduğunu gösterdi. Bu nedenle, bir fırının çalışması için gereken direktifleri depolayacak en kısa programı hiçbir zaman bulamayız.

Bunun sonucunda, kullandığımız mikro-işlemciler her zaman gereğinden daha çok talimatlar içerir: her zaman bazı fazla bilgiler ve verimsizlik mevcuttur. Uygulamada bu “mantıksal sürtünme”nin gaz fırınının verimliliğinde yol açtığı azalma, günümüzde, onu gidermek için yapılabileceklerden milyarlarca kat daha azdır. Ancak yine de, bu mülahazalar, bir gün, narin nano- teknik makinaların çalışmasında önemli , ve herhangi bir teknolojinin nihai becerilerini saptamak için de vazgeçilmez olabilirler.   (Barrow, 2002, s. 304-305)

Gerçekten de örneğin tıp açısından belli virüsleri elimine etmek için geliştirilmek istenen nano-ajanlar için böyle bir verimsizlik daha göze batar hale gelmektedir. Teknoloji hassaslaştıkça ve daha küçük alanlar için organize edilmeye devam edildikçe bu sonuçların hayati önemini daha iyi kavrayacağız. Günlük yaşamda umursamadığımız veya soyut bir tasarım olarak görüp endişelenmediğimiz bu sonuçlar gelecekte işimizi zorlaştıracaktır.


Sonuç ve Tartışma


Gödel’in biçimsel dizgeler için tüm doğru aritmetik önermeleri türetmek için biçimsel bir karar verme yordamının bulunmayışını kanıtladığı çalışması ve benzeri biçimsel dizgeler için bu kanıtı tekrarlayan Turing ve Chaitin’in çalışması bize neyi göstermektedir ? Yeni matematiksel teoremler üretebilen makinelerin inşası yolunda mantıksal engeller var mıdır ? İnsan kanıtlamasının, makine kanıtlamasından ne gibi bir farkı vardır ve bu farkı neye dayandırabiliriz ?

Gödel’in ve diğerlerinin çalışmaları yalnızca kendi alanında değil felsefede, bilgisayar bilimlerinde, mantık çalışmalarında hatta din sahasında bile geniş yankılar uyandırmış ve uyandırmaya devam etmektedir. Bazıları bu çalışmayı insanı özsel olarak diğerlerinden izole edip değerini muhafaza eden görüşler için bir sığınak olarak kullanmış, diğer bazıları da bütünselci programları eleştirmek için kullanmıştır.

İlkin matematiğin mantıksal temelleriyle ilgili çıkarmamız gereken ders, biçimsel bir dizge olarak kurulan simgesel mantığın mimarisinin içine almadığı aritmetiksel doğruluklar olduğudur. Bir matematikçi tüm aritmetiksel doğrulukları simgesel mantık yardımıyla hem tuatarlı hem de tam olan aksiyomatik bir kümeden çıkarmaya çalışırsa tekrarlayan bir başarısızlıkla karşılacaktır. Dolayısıyla matematiğin tüm önermelerinin mantıksal bir yolla türetilemeyeceği artık herkes için açıktır.

Ancak aksiyomatik açıdan eksikli bir aksiyomatik dizge için tutarlılığın mutlak kanıtlamasının mümkün olduğunu ve bunun başarılı bir örneği olarak da önermeler mantığını verdiğimizi hatırlamışsınızdır. Penrose’un yaklaşımıyla ele alırsak matematiksel doğrulukları saptamak için mantık ve biçimsel yaklaşım ancak kısmi bir rehber olabilir ancak matematiğin tümü için biçimsel bir yaklaşım geçerli değildir.

Matematik ve mantık arasındaki ilişki de böylelikle netleşmiş oluyor. Mantık matematiğin doğru önermelerinin bir kısmını içerirken, matematiksel olarak doğru olma kapsamı daha geniş olan bir kavramdır. Sayılar, açıktır ki tümüyle mantığa indirgenemeyecek bir özelliğe sahiptir; esnekliğe.

Sayılar katı prosedürlere uyan bir düzeyin dışında, mekanik prosedürlerle üretilemeyen doğal dile benzeyen esnek bir düzeyde de varolurlar. Eğer matematiğin tümünü bir organizma gibi düşünürsek, birinci düzey biyolojik düzeydir ve zorunlulukların hüküm sürdüğü, stereotipik bir yapı olarak inşa edilmiş düzeydir. Bu matematiğin temel mantıksal boyutudur ve bir matematiksel yapının inşasından onun nasıl türetildiğini anlıyoruz. Bu düzeyde sayıların bu tip alt düzey özellikleri değişmez yani analitik bir tarzda yapılanmıştır. Değişmesi matematiğin çelişkili olmasıyla sonuçlanır ve bunu istemeyiz.

İkinci düzey ise biçimsel olarak üretilemeyen aritmetiksel doğrulukların olduğu, hesaplanamaz fonksiyonların olduğu matematiğin simgesel düzeyi diyebileceğimiz düzeydir. Sayıların bu düzeyde varolmasını sağlayan özellik esneklik özelliğidir ve biçimsel yollarla türetilememe bu düzeydeki matematiğin temel karakteristik özelliğidir. 

Hilbert’in matematiksel önermelerle üst-matematiksel önermeleri ayırma girişiminin başarısızlığa uğratılmasının nedeni de budur. Bu düzeyde sayılar arasındaki ilişkiler, sayılarla sayıların temsil ettiği yapılar arasındaki stereotipik[4] ilişki kaybolmuştur. 

Üst-matematiksel bir önerme biçimsel dizge içerisinde aritmetiksel bir önermeye dönüştürülebilmekte ve bu yolla Gödel’in yaptığı gibi aritmetiksel önermeler kendileri hakkında konuşabilmektedir. Bu çok önemlidir, zira matematiğin biyolojik düzeyi için bu geçerli değildir.

Ancak aritmetiği de kapsayan geniş bir biçimsel dizge söz konusuysa ikinci düzey önemli hale gelmektedir, kapsam daraltıldığındaysa hangi düzeyin kullanıldığının bir önemi kalmamaktadır.

Diyebiliriz ki hangi yöntemin kullandığı, dizgenin kapsamı tarafından belirlenir. Basit düzeylerde hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın sonuç alınabilirken geniş bir kapsamı olan matematik problemleri sınıfı için yöntemin ne olduğu önemli hale gelmektedir. 

Gödel’in çalışması matematiğin temelleriyle ilgili biçimsel yaklaşımı elerken diğer iki yaklaşım olan sezgisel yaklaşım ve realist yaklaşımdan hangisinin en uygun yaklaşım olduğu konusunda bir şey söylememektedir. Çalışmanın sonunda bu noktaya tekrar odaklanacağız ve hangi yaklaşımın seçilmesi gerektiğiyle ilgili ipuçlarını vermeye çalışacağız.

Matematik çağlar boyunca kesin bir bilim olarak görülmüş ve bilimsel kuramlar oluştururken hipotezlerimizi hem güvence altına almanın hem de denetlemenin aracı olarak görülmüştü. Ancak Chaitin’in de gösterdiği gibi bu beklenti, sezgisel bir beklentiden (Folk Psikoloji) fazlası değildir. Chaitin çoğu sayısının rastgele olduğunu ancak yine çok azının rasgele olduğunun kanıtlanabileceğini kanıtlamıştır. Çalışmasının sonuçlarıyla ilgili şunları söylüyor:

“Tanrı kuantum mekaniği ve doğrusal olmayan dinamiklerde değil, temel sayılar kuramında bile zar atıyor.” (Gleick, 2014, s. 307)

Sayılar arasındaki ilişkilerin kesin olduğu ve sayıların katı, statik yapılar olduğu şeklinde yaklaşım hatalıdır ve az önce de söylediğim gibi sayıların temel özelliklerinden birini, onların esnekliğini göz ardı etmektedir. Sayılar sanıldığı kadar yalın değildir ve niceliksel olarak yapılandırılmış geniş kapsamlı bir sistemde bu özellik dikkate alınmalıdır.

Gödel’in ve diğerlerinin çalışmalarının matematik ve mantık alanındaki sonuçlarını kısaca vermeye çalıştım. Şimdi de bu sonuçların Zihin felsefesinde ve Yapay Zeka çalışmalarında ne gibi yansımaları olduğunu bu alandaki temel yaklaşımlarla birlikte inceleyeceğiz.

Daha önce Church-Turing tezinin farklı versiyonları olduğunu ve yazarların çalışmasından birçok farklı yaklaşımın beslendiğinden söz etmiştik. Şimdi bu yaklaşımlara daha yakından bakalım. 

Burada üç ana yaklaşımı incelemeyi uygun buluyoruz, bunlar; indirgemeci versiyon, spritüalist versiyon ve eşbiçimlilik versiyonudur. İndirgemeci ve spritüalist versiyonu iki uç nokta olarak verdim ki eğer bunların abartılı olduğuna kanaat getirirsek bunların olası yaklaşımların doğal bir sınırı olduğu inancıyla arada kalan yaklaşımların uç yaklaşımlar olmadığına emin olalım. 

Dolayısıyla indirgemeci yaklaşım Church-Turing teoremi için güçlü modeli, spritüalist model zayıf modeli, eşbiçimlilik yaklaşımı ise uzlaşmacı-ılımlı modeli temsil etmektedir. eşbiçimlilik versiyonunu incelemeye dahil etmemizin nedeni de bir orta çizgi belirleyip, sonunda yaklaşımların hepsini olumlayacak kadar zayıf davranırsak orta çizgiden biraz sapıp güçlü ve zayıf model arasında gidip gelmek için bir aracı olmasıdır.


İndirgemeci versiyonun temel varsayımı şudur:

Bütün beyin süreçleri hesaplanabilir bir alt substrattan[5] türetilir. (Hofstadter, 2011, s. 704)

Bu varsayım beynin fonksiyonlarının biyolojik altkatmanlarından sıyrılıp makine üzerine haritalanabileceği beklentisi üzerine kuruludur. Uçma fonksiyonu nasıl yalnızca biyolojik bir yapı içerisinde değil ancak motorları olan çelik makinelerde de üretilebiliyorsa beynin fonksiyonları da nöronlar ve aralarındaki elektrokimyasal özellikler göz ardı edilerek makine içinde üretilebilmelidir.

Aslında burada dikkat edilmesi gereken nokta biyolojik yapının da ötesinde fonksiyonun üretilmesini sağlayan asıl faktörün çoklu gerçekleşme faktörünün bilinmesi ve haritalanacak yapı içerisinde bunu sağlayacak donanımın bulunup bulunmadığıdır. Örneğin uçma fonksiyonu için çoklu gerçekleşme faktörü aeodinamik özellikler bakımından uçmaya uygun olmaktır. Bu faktörü göz önünde bulundurarak biz tamamen cansız, ruhsuz ancak uçabilen makineler yapabiliyoruz.

Aynı şekilde yaşayan bir beyin yaratmaya gerek duyulmadan matematiksel hesap yapan makineler üretebiliyoruz. Burda çoklu gerçekleşme faktörü mekanik hesaplamadır ve algoritmik işlemlerle, matematiğin mekanik olan birçok problemi çözülebilir. Hesaplama fonskiyonu yalnızca elektronik makinelerde değil, Babbage’ın yaptığı gibi mekanik makinelerde de üretilebilmektedir.

Diyebiliriz ki eğer bir fonksiyon için onu diğer yapılarda da üretebilmemizi sağlayan çoklu gerçekleşme faktörü biliniyorsa ve hedef yapı içerisinde bu bilgiyi türebilecek donanım( örneğin transistör, diyot gibi elektronik elemanlar) mevcutsa- beyin ve makine bağlamında konuşursak- indirgemeci yaklaşım sonuç verecektir ancak çoklu gerçekleşme faktörünün bilinmediği durumlarda ( örneğin, şiir yazma, bale yapma, fıkra anlatma veya diğer ele avuca gelmez fonksiyonlar) bu yaklaşım sonuç vermeyecektir ve yapının yerel özelliklerine( beyin için elektrokimyasal ortama) bağlı kalınacaktır.

Spritüalist versiyonun temel argümanı yukardaki yaklaşımla bağlantılıdır ve aslında indirgemeci versiyonda, çoklu gerçekleşme faktörünün bilinmediği durumdaki fonksiyonlar, bu yaklaşımın temel dayanağıdır. Yaklaşımın temel argümanı şudur:

Bir beynin yapabildiği bazı türden şeylere, bir bilgisayarda belli belirsiz bir şekilde yaklaşılabilir, ama çoğunun ve kesinlikle ilginç olanlarına değil. Ama zaten bütün hepsine yaklaşılsaydı bile, ruh yine de açıklanması gereken bir şey olarak kalırdı ve bilgisayarların bu konuyla bir ilgisi yoktur. (Hofstadter, 2011, s. 707)

Bu yaklaşımın çoklu gerçekleşme faktörünün ne olduğunu bilmediğimiz fonksiyonları kullandığına dikkat edin. Açıkçası bilgisizliğimizden beslenen diğer yaklaşımlar gibi bu yaklaşım da her yeni fonksiyonun üretiminden sonra Yapay zeka alanına yeni hedefler koyarak kendini korumaya çalışmaktadır.

Örneğin uzman sistemlerden biri olan Mycın tıbbi tanı koyma konusunda insan uzmanlardan daha iyi puanlar almış, satrançta Deep Blue Kasparov’u yenmiş, veri madenciliği sayesinde işletmeler kar marjlarını yükseltmiş, lokantalarda servis yapan, anlamlı sohbetler kurabilen, tek ayağı üstünde zıplayarak koşabilen robotlar ve programlar geliştirilmiştir. Ancak spritüalistler zeka için koyduğu kriter her aşıldığında bu aşılan kriterin aslında zekayı tanımlamadığını ileri sürerek konuyu geçiştirmektedirler, dolayısıyla hangi fonksiyonun onlar için artık zeki bir davranışı yansıttığı belirsizdir.

Elbette biz robotların ve yazılımların insanlarla aynı güçte olduğunu ileri sürmüyoruz ancak bu gelişmeleri küçümsemek ve makinenin yeteneklerini insan rakiplerinden, yalnızca elektronik bir bedeni olması dolayısıyla göz ardı etmek de istemiyoruz.

Ruhun konuya dahil olmasını ise anlamlı bulmuyoruz çünkü başta da söylediğimiz gibi yapıya değil fonksiyona odaklanmak ve çoklu gerçekleşme faktörünü bularak onu hedef yapı içerisinde nasıl türetebileceğimizi bulmak asıl hedefimiz olmalıdır. Eğer beynin bir fonksiyonunu onun yalnızca yapısal özelliklerini kullanarak üretiyorsanız bu yapay zeka değildir, doğal zekadır. Dolayısıyla bu yaklaşım yapay zekanın hedefiyle bağdaşmamaktadır. Beyni farklı bir şekilde inşa etmek istiyoruz , onu klonlamak değil.

Son olarak eşbiçimlilik versiyonunu kısaca özetleyecek ve yapay zeka tartışmasını daha fazla uzatmayarak sözü geçen çalışmaların matematik felsefesi için çıkarımlarıyla ilgili yanıtlamak istediğimiz temel soruyu yanıtlamaya çalışacağız.


Eşbiçimlilik versiyonunun temel argümanını Hofstadter şu açıklar:

Duygulu bir varlığın sayıları iki sınıfa ayırmak için izlediği bir yöntemin varolduğunu varsayın. Ayrıca bu yöntemin daima sonlu bir zaman içerisinde bir yanıt ürettiğini ve verili bir sayı için daima aynı yanıtı verdiğini varsayın. O halde:


Duygulu varlığın yönteminin verdiğiyle tamamıyla aynı yanıtları veren sonlanan bir Floop programı (yani genel yinelgen fonksiyon) vardır. Dahası: bir düzeyde hem bilgisayar hem de beyinde gerçekleştirilen adımlar arasında bir karşılıklılığın olması anlamında zihinsel süreç ve Floop programı eşbiçimlidir.    (Hofstadter, 2011, s. 699)

Buradaki yaklaşımın temel amacı Church-Turing çalışmasının ortaya çıkardığı algortimik olarak hesaplanamaz fonksiyonları beyin ve bilgisayar arasında eşbiçimlilik kurarken göz ardı etmek ve bu eşbiçimliliği hesaplanabilir fonksiyonlar üzerine kurmaktır. Bu sayede hesaplanabilir fonksiyonları kullanarak Church ve Turing’in çalışmasının yapay zeka üzerindeki tehditkar duruşundan da kurtulabiliriz.

Bu bizim en yakın durduğumuz yaklaşım olup eğer insana atfedilen fonskiyonların çoklu gerçekleşme faktörleri yeterince iyi bilindiğinde ve hedef yapı olan bilgisayar üzerinde nasıl üretilebileceği konusunda teknik olarak yetkinleştikçe beyin ve bilgisayar eşbiçimliliği tüm fonksiyonlar için birbirine yakınsayacak ve bu bağlantı beynin fonksiyonları için yapısal olmayan çeşitlemelere imkan sağlayacaktır.

Kilit adım hesaplanamaz matematiksel fonksiyonlara gereğinden fazla pratik önem atfedip bir araştırma programı olarak yapay zekayı zayıflatacağı veya yozlaştıracağı yanılgısına düşmemektir. Her fonksiyon için hesaplanabilir bir yöntemle ile birlikte beyin-bilgisayar eşbiçimliliği için gerekli faktörlerin aranması yapay zeka çalışanların temel hedefi olmalı ve Church-Turing tezine ancak hakkettiği teorik değerin verilmesiyle birlikte, pratik olarak yapay zeka çalışmasına gölge düşürmediği ve zeka için kritik olan çoğu fonksiyonun da hesaplanabilir fonksiyonlar olabileceği unutulmamalıdır.

Şimdi yanıtlamamız gereken son soruya geliyoruz. Biçimsel yaklaşımın Gödel, Turing ve Chaitin’in çalışmalarıyla birlikte matematiğin temelleri için nihai bir açıklama sunmadığını söylemiştik. Bununla birlikte hangi açıklamanın matematiğin temellerini en iyi yansıttığı sorusu ise yanıtlanmadan kalmıştı.

Eğer siyasi bir analojiyle tekrar edersek biçimsel program tek başına iktidar görüşken büyük vaatlerde bulunmuş ancak bunları yerine getiremediği için gözden düşmüş ve yeniden seçim sürecine girilmişti. Şimdi muhalif görüşlere ve onların vaatlerine daha yakından bakalım ve hangisinin bu seçimi kazanacağını tahmin etmeye çalışalım.


Diğer iki muhalif görüş şunlardır: Sezgisel yaklaşım ve Realist (Platoncu) yaklaşım.


Sezgisel yaklaşım Barker’a göre aslında kavramsalcılığın uç bir biçimidir. Kavramsalcılara göre sayılar ve kümeler gibi matematiksel nesneler, düşünceyle varlık bulan soyut nesnelerdir. Daha da ileriye gidersek kavramsalcı yaklaşım matematikçiye matematiksel nesneleri, özgürce ve her şeye gücü yeten bir bir biçimde yaratma özgürlüğü sunmaktadır. Ancak barker bu tanrısal niteliklerin yine de matematikçi için geçerli olmayacağını şu sözlerle açıklar:

Tanrı açısından herhangi bir şey olabilsin ya da olmasın, matematikçi yine de tutarlılıkla ilgili gereksinime tabiidir ve öz çelişikleri varlığa taşıyamaz. (Barker, 2003, s. 120)

Bu yaklaşımın en önemli temsilcisi Kant’tır. O sayıya ilişkin bilgimizin görünün saf bir formu olarak zamanın farkındalığına ve zihnin defalarca kendi sayma edimini tekrar etme kapasitesinin zihnin farkındalığına dayandığını savunur. Sayının yasalarını bilirken zihin, kendinde olan olarak gerçekliğe yönelik değil, yalnızca sahip olduğu kendi iç çalışmasına yönelik kavrayış kazanır.

Yani ona göre sayılar ancak ve ancak onlara sayma ile ulaşılabildiğinde var olurlar. Bu yaklaşıma göre kümeler de ancak ve ancak üyeleri tümüyle sayılabildiğinde var olurlar. Bu düşünce çizgisi ise bizi sonsuz sayıları ve sonsuz kümeleri matematikten dışlamaya iter. Çünkü ne sonsuz bir sayı sayılabilir ne sonsuz bir kümenin tüm elemanları sayılabilir.

Bu görüşün değiştirilmiş ve ayrıntılandırılmış biçimi aralarında Brouwer’in de bulunduğu bir grup matematikçi tarafından oluşturulmuş ve sezgicilik adıyla anılır olmuştur. Onlar Kant’ın temel düşünce çizgisini kabul ederler ve sayılamayan sayılar matematik dışında bırakmayı seçerler. Ancak bununla da kalmaz matematiksel bir ispat için geçerli tek ispatın oluşturucu ispat olduğunu savunurlar. Oluşturucu ispat adım adım oluşturulan ve her adımı sayılabilen ve matematikçi tarafından kontrol edilebilen, matematiksel tümevarıma yer vermeyen ispat türüdür.

Bu ispatın kullanılmadığı bir örnek olarak Cantor’un doğal sayılardan daha fazla real sayı olduğunu kanıtladığı çalışma verilebilir. Bu çalışma sezgici yaklaşımı seçen matematikçiler için kabul edilmez çünkü bu oluşturucu olmayan bir ispattır ve sonsuz sayıdaki adımı gerektiren bir işlemin tamamlanmasını zihinde canlandırmaya dayalıdır.

Matematiksel bir önermeyi doğrulamak, sezgici için onun sonlu sayıda adımla nasıl oluşturulacağını ya da hesaplayacağını bilip oluşturucu bir ispatını vermek eşdeğerdir. Aynı şekilde bir önermenin yanlış olduğunu bildiğimizi haklı olarak söyleyebilmek için onun oluşturu bir çürütmesine sahip olmalıyız. Ancak çalışmanın başlarında anlattığımız gibi oluşturucu ispatla veya mekanik ispatla ne doğruluğu ne yanlışlığı kanıtlanabilen matematiksel önermeler vardır. Fermat’ın son teoremi ve Goldbach hipotezi bunlara örnek olarak verilebilir.[6] Bu durumda sezgici üçüncü bir olasılığa kapı aralar ve bu türden önermeleri de matematiğin içine dahil ederek üçüncü halin olmazlığı ilkesini reddetme pahasına bu belirsiz nitelikli önermeleri onaylar.

Barker’a göre sezgicilik, bu kavramsalcı felsefenin uç biçimi, klasik matematiğin bazı aksiyomlarını ve uslamlama yöntemlerinini reddederek klasik matematiğe hatırı sayılır derecede zarar verir. Barker için sezgicilik bu bedeli ödemeyi düşünecek kadar değerli bir yaklaşım değildir.

Realist yaklaşım ise sayıların zihnimizden bağımsız varlıklar olduğu düşüncesini önermekle birlikte bu tip sorunları göz ardı edebileceğimizi savunur ve matematikçinin işlevini özgürce matematiksel nesneler yaratan bir tanrıdan ziyade sayılar arasında zaten varolan ilişkileri saptamaya çalışan bir keşifçi gibi görür.

Buna göre matematikçi hakkında konuştuğu matematiksel nesneleri yaratmaz veya icaz edemez, fakat onlar, onun kendilerini keşfetmesi ve betimlemesi için orada beklerler. 

(Barker, 2003, s. 129)

Sayının gerçekliği bizim onun ondalık gösterimini izleyebilmemize dayanmıyorsa, biz özel olarak reel sayının ne olduğunu belirleyemesek de Cantor’un yarattığı mükemmel sayı için endişelenmemize ve onu matematiğin dışına itmemize gerek yoktur. Aynı şekilde Fermat’ın son teoremi ve Goldbach hipotezi de oluşturucu bir ispatı verilebilir olsun ya da olmasın ya doğru ya da yanlış olmalıdırlar. Çünkü varsayımımız onların bir entite (varlık) olduğu yönündedir ve üçüncü halin olmazlığı ilkesini reddetmek anlamlı değildir.

Bu yaklaşımın açık bir sonucu Barker’e göre şudur:

Eğer sayı matematiği, kümeler ve sayılar gibi soyut nesnelere ilişkin gerçekten bağımsız bir araştırma alanı ise, bu nesnelere ilişkin yasaların doğru bir bütünü olmalıdır. (Barker, 2003, s. 159)

Ancak ne kümeler kuramı ne de Tipler kuramı yardımıyla güncellenen PM gibi bir biçimsel dizge paradokslardan kurtulamamış ve Gödel’in çalışmasıyla birlikte tam ve tutarlı bir aksiyomatik bir sistem yardımıyla matematiğin tüm doğru önermelerini türetme ideali başarısızlıkla sonuçlanmıştır. Dolayısıyla mantıksal bir altyapıyla yükselişe geçen realist yaklaşımın hızı Gödel tarafından kesilmiş ve tüm matematiği mantıktan türetmeye çalışan programı özsel bir eksiklikle başa başa bırakmıştır.

Başta biçimsel programın çöküşü derken kasteddiğim iki şey vardı: Biri Russell, Whitead ve Frege gibi düşünürlerin tam bir aksiyomatik sistem yardımıyla tüm matematiksel doğrulukları türetmeye çalıştığı ve bunun altypasını, organizasyon biçimini oluşturan ve eğer girişim başarılı olsaydı sayıların bağımsız bir gerçeklikler alanı olduğunu kanıtlayacak biçimsel yaklaşım.

İkincisi ise Hilbert ve onun gibi düşünen matematikçilerin matematiği anlamsız işaretlerle oynanan bir oyun, biçimselleştirilmiş bir sistem dışında hiçbir doğal bildirimi olmayan soyut bir yapı olarak görmeleri anlamındaki biçimsel yaklaşım.

Barker biçimcinin görüşü için şunları söylüyor:

Biçimcinin görüşü, matematiksel sistemlerde anlam ve doğruluk gibi hiçbir şeyin olmadığına dair bir görüş olacaktır; bu sistemler hiçbir bildirimi içermez fakat yalnızca işaretleri içerirler. Bir sistem türü, asla diğerinden “daha” doğru değildir. (Barker, 2003, s. 162)

Gödel, hem aritmetiksel doğrulukların tam bir aksiyomatik küme yardımıyla türetilmesi sonucunda bağımsızlarının tanınmasını engellemiş hem de sayıları işaretleri başka işaretlere dönüştürme kuralları yardımıyla dönüştürmekten ibaret gören, onları işaretlerle oynanan bir oyuna indirgeyen Hilbertçi yaklaşımın en uygun yaklaşımlar olmadığını göstermiştir.

Siyasi analojimize geri dönersek son olarak şunları söyleyebiliriz. Biçimci ve realist yaklaşımlar Gödel’in çalışmasıyla birlikte vaatlerini yerine getirememiş olsalar da yine de matematiğin önemli bir kısmı için hala matematikçiler için kullanışlı bir yaklaşım olarak kaldılar. Sezgisel yaklaşım ise sorunlardan kurtulma vaadine karşılık çok fazla fedakarlık istediği için gözden düştü ancak yine de oluşturucu ispatın önemi matematikçilerin çoğu için bu yaklaşımı önemli bir uğrak merkezi kılmaktadır. Ve böylelikle seçim sonucumuz netleşmiş oldu: Koalisyon.

Elbette bu sonuç matematiğin yalnızca bir yaklaşımla elde edilebilecek küçük bir kısmı için geçerli değildir. Çünkü her yaklaşımın diğerlerine hiç ihtiyaç duymadan çözebileceği matematiksel problemlerin olduğu farklı eyaletler vardır. Bu sonuç bir bütün olarak, matematik ülkesinin tamamı için, matematiğin temellerine ilişkin yolculuğumuzun ve matematiğin gerçekte neye dayandığının araştırılması sonucu elde ettiğimiz sonuçtur.

Yaklaşımımızı özetleyen son bir söz için Barker’e dönüyoruz ve çalışmamızı bitiriyoruz. Umarım okura, bu çalışmaların matematik felsefesi ve genel olarak bilim tarihi için önemini iletmeyi başarabilmişizdir.

Matematik evinin birçok dairesi vardır ve onun içinde birçok oyun oynanır. (Barker, 2003, s. 169)

Ekler


Ek-1


Turing’in bu konudaki kanıtı şöyledir: Önce, böyle bir algoritmanın var olduğunu düşünelim. Öyle bir H Turing makinesi bulunmalıdır ki n’inci Turing makinesinin m sayısına işlem yapınca durup durmayacağına karar verebilsin. Diyelim ki durmazsa çıktı bant üzerine 0 olarak işlensin, durursa 1 olarak işlensin:


H(n;m) = { 0 eğer Tn(m) = □ ise,

1 eğer Tn(m) durursa.

Şimdi, olası tüm girdileri uygulayan olası tüm Turing makinelerinin tüm girdilerini liste halinde içeren sonsuz bir dizge düşleyelim.

m → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .


n


↓


0 □ □ □ □ □ □ □ □ □ . . .


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .


2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .


3 0 2 0 2 0 2 0 2 0 . . .


4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .


5 0 □ 0 □ 0 □ 0 □ 0 . . .


6 0 □ 1 □ 2 □ 3 □ 4 . . .


7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .


8 □ 1 □ □ 1 □ □ 1 □ . . .


. . . .


. . . .


. . . .


197 2 3 5 7 11 13 17 19 23 . . .


. . . .


. . . .


Bu dizgenin n’inci sırası Tn makinesinin 0,1,2,3,4,… girdileri üzerine işlem yaptığında çıktıların ne olduğunu göstermektedir. Teorik H’i kullanabilseydik tabloyu üretmek için gerekli yöntemi bulabilirdik. Çünkü H, □’lerin nerelerde oluşacağını bize söylerdi. Fakat, bunun yerine, her □’yi 0 ile değiştirerek □’leri eklemek için H’i kullanalım.

Tn’in m’e uygulanmasından önce H(n;m)’in uygulamasıyla bu gerçekleşir; daha sonra H(n;m) = 1’in koşuluyla Tn’in m’ye işlem yapmasına izin veririz, ve H(N;m) = 0 ise sadece 0 yazarız. Böylece bu yöntemi

Tn (m) × H (n;m) olarak yazarız. Buna göre tablo şu şekilde okunur:

m → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .


n


↓


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .


2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .


3 0 2 0 2 0 2 0 2 0 . . .


4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .


5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .


6 0 0 1 0 2 0 3 0 4 . . .


7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .


8 0 1 0 0 1 0 0 1 0 . . .


. . . .


. . . .


. . . .


H makinesinin varolduğunu düşünsek, bu tablodaki sıralar hesaplanabilir dizgelerden oluşmaktadır. (Hesaplanabilir dizge ile anlatmak istediğim, birbirini izleyen değerlerin bir algoritma tarafından üretilebildiği sonsuz dizidir; bir başka deyişle, m=0,1,2,3,4,5… doğal sayılarına uygulandığında dizgenin birbirini izleyen elamanlarını üreten bir Turing makinesi bulunmalıdır).

Şimdi bu tablonun iki özelliği üzerinde duralım. Birincisi, her hesaplanabilir doğal sayılar dizisi en az bir veya birkaç dizge halinde bulunmaktadır. İkincisi, H Turing makinesinin gerçekten var olduğu varsayımından hareketle tablo, Tn (m) × H (n;m) yöntemiyle hesaplanabilir şekilde üretilmiştir.

Açık olarak n ve m sayılarına uygulandığı zaman tabloya uygun kayıt üreten bir Q Turing makinesi bulunmaktadır. Bunun için aynen H Turing makinesinde olduğu gibi, Q’un bandında n ve m’i kodlayabiliriz:


Q (n;m) = Tn (m) × H (n;m).


Şimdi, Georg Cantor’un “köşegen yöntemi” adı verilen zekice planlanmış ve güçlü yöntemini değişik bir biçimde uygulayalım. Koyu renk rakamlarla işaretlenmiş bulunan elemanların oluşturduğu ana köşegene dikkat ediniz:



0 0 0 0 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 0 0


1 1 1 1 1 1 1 1 1


0 2 0 2 0 2 0 2 0


1 1 1 1 1 1 1 1 1


0 0 0 0 0 0 0 0 0


0 0 1 0 2 0 3 0 4


0 1 2 3 4 5 6 7 8


0 1 0 0 1 0 0 0 1


Bu elemanların oluşturduğu 0,0,1,2,1,0,3,7,1 dizisine 1 ekliyoruz:

1,1,2,3,2,1,4,8,2,…

Açıkça görüldüğü gibi bu bir hesaplanabilir yöntemdir ve tablomuz da hesaplanabilir tarzda üretilmiş olduğuna göre bize yeni bir hesaplanabilir dizge, gerçekte 1+ Q (n;n) dizgesini; yani
1+ Tn (n) × H (n;n) vermektedir. Fakat tablomuz her hesaplanabilir dizgeyi içerdiği için yeni dizi de listenin bir yerinde yer alıyor olmalı.

Ama durum hiç de böyle değil! Çünkü yeni dizgemiz, ilk kaydın ilk sırasından, ikinci kaydın ikinci sırasından, üçüncü kaydın üçüncü sırasından, vs. farklıdır. Bu açık bir çelişkidir. İşte bu çelişki, kanıtlamaya çalıştığımız olguyu kanıtlar: Turing makinesi H gerçekte mevcut değildir!


Bir Turing makinesinin durup durmayacağı konusunda karar verecek evrensel bir algoritma yoktur.


Belirli bir Turing makinesinin durup durmayacağı sorusu, mükemmel tanımlanmış bir matematik sorusudur. Böylece, Turing makinelerinin durması konusunda karar vermekle ilgili hiçbir algoritmanın var olmadığını göstermekle Turing, matematik soruları ile ilgili karar vermenin genel algoritmasının var olmayacağını göstermiştir. Hilbert’in Entscheidungsproblem’inin çözümü yoktur.

Tüm matematik soruları, tüm Turing makineleri ve bunların uygulandığı tüm sayılar için geçerli hiçbir algoritma yoktur.



Ek-2



Bir algoritma kullanılarak üretilebilen P gibi bir küme , tekrarlı sayılabilir küme adıyla anılır. Tekrarlı sayılabilir kümelerin basit örnekleri, çift sayılar kümesi


{0,2,4,6,8, …},


Kareler kümesi


{0,1,2,9,16, …},


Ve asal sayılar kümesi


{2,3,5,7,11, …}’dir.


Açıkça görüldüğü gibi bu kümelerden her birini bir algoritma vasıtasıyla üretebilmekteyiz. Söz konusu üç örnekte, tümleyen kümeler, sırasıyla, şöyledir:


{1,3,5,7,9};


{2,3,5,6,7,8,10, …}


{0,1,4,6,8,9,10,12, …}


Bu tümleyen kümeler için de bir algoritma üretmek kolay olacaktır. Gerçekten de, herhangi bir n doğal sayısının çift olup olmadığına, kare olup olmadığına veya asal sayı olup olmadığına algoritmik olarak karar verebiliriz. Böyle bir algoritmayı, hem asıl kümeyi hem de onu tümleyen kümeyi üretmek için kullanabiliriz. Hem kendisi hem de tümleyen kümesi tekrarlı sayılabilir bir kümeye yinelenen küme denir. Elbette ki yinelenen bir kümenin tümleyeni de bir yinelenen kümedir.

Bize gerekli olan tek şey , algoritmamızın incelemekte olduğumuz elemanı buluncaya kadar kümenin tüm elemanlarını taramasına izin vermektir. Fakat, varlığından kuşkulandığımız elemanın kümede gerçekten bulunmadığını varsayalım. Bu durumda algoritmamız işe yaramayacaktır, çünkü bir karara varmaksızın taramasını sonsuza dek sürdürecektir. Bu nedenle ‘tümleyen’ kümeyi üretmek için bir algoritmaya ihtiyacımız vardır. 

Her iki algoritmayla donanımlı olarak kendimizi yeterli hissetmemiz gerek. İki algoritmadan birini ya da diğerini kullanarak zanlıyı her durumda yakalayabiliriz. Ancak, bu mutluluk, yinelenen bir kümeyle ne yapacağımıza bağlıdır. Burada kümemizin yalnızca tekrarlı sayılabilir olduğu fakat yinelenen nitelikte olmadığı varsayılmıştır. Tümleyen kümeyi üretmek için önerdiğimiz algoritma ortada yoktur! Böylece tuhaf bir durumla karşı karşıyayız.

Kümedeki bir elemanın gerçekten kümede olup olmadığına algoritma yardımıyla karar vereceğiz, ama gerçekten kümede olup olmadığını yine algoritmayla garanti edemiyoruz! Böyle bir durumla gerçekten karşılaşılabilir mi ? Tekrarlı sayılabilir fakat yinelenemeyen kümeler gerçekten var mıdır?

Bu özellikler gerçekte, biçimsel sistemimizin tam olamayacağını gösterir. Başka bir deyişle, sistemin içerisinde ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir önermeler yer almalıdır. Çünkü, bu gibi ‘karar verilemez’ önermeler bulunmazsa, P kümesini tümleyen kümenin, çürütülemez önermeler kümesi olması gerekirdi (kanıtlanamayan herhangi bir şey çürütülemez), fakat çürütülemez önermelerin, tekrarlı sayılabilir küme oluşturduklarını görmüştük. Öyleyse bu durumda P kümesi yinelenen küme olmalıdır. Ancak P yinelenen bir küme değildir. İşte bu çelişki biçimsel sistemimizin tamamlanamayacağını gösterir, ve Gödel’in teoreminin ana savıdır.



Ek-3



Sayı kuramcıları farklı ilginç sayı sınıfları sayarlar: Asal sayılar, mükemmel sayılar, kareler ve küpler, Fibonacci sayıları, faktöriyeller. Hangi sayıya ilginç değil diyebiliriz ? Herhalde rastgele bir sayıya. Hakkında söylenecek özel bir şey kalmayan bir sayı bulunduğu kesindir. İşte tam o noktada karşımıza bir paradoks çıkar: Onu “en ilginç olmayan en küçük sayı” diye ilginç bir biçimde tanımlayabiliriz. 

Bu Bertrand Russel’ın Principia Mathematica’da anlattığı Berry’nin paradoksunun hayata dönmesinden başka bir şey değildir. Berry ve Russell şeytani bir kurnazlıkla sorarlar: “On dokuz heceden daha az heceyle adlandırılamayan en küçük tamsayı hangisidir? Bu sayı her neyse, on sekiz heceden az bir isimle anılabilmelidir: on dokuz heceden daha az heceyle adlandırılamayan en küçük tamsayı. Bu sayıların bazıları dünyayla ya da dille ilişkili olabilirken bazıları da saf matematik olgulardan ibaret olabilir.

Chaitin ve Kolmogorov algoritmik enformasyon kuramını ortaya atarak Berry’nin paradoksunu canlandırdılar. Bir algoritma, bir sayıya ismini verir. Chaitin “Paradoks orjinalinde İngilizceyle ilgilidir, ama çok bulanıktır. Ben onun yerine bilgisayar dili kullandım” der. Doğal olarak evrensel Turing makinesinin dilini seçer.


Bir sayının ilginç olup olmadığını sormak, onun rastgele olup olmadığını sormanın tam tersidir. Eğer n sayısı görece kısa bir algoritmayla hesaplanabilirse, o zaman n ilginç bir sayıdır. Hesaplanamazsa, rastgeledir.

“Sayıyı hesaplayan küçük, kestirme bir bilgisayar programı varsa, bu onu seçip daha küçük bir algoritmik tanıma sıkıştırmanıza olanak sağlayan bir nitelik veya özelliğe sahip olduğu anlamına gelir” der Chaitin. “Öyleyse burada bir olağandışılık var, yani bu ilginç bir sayıdır.”

Ama gerçekten de olağandışı mı acaba? Genel olarak bütün sayılara baktığımızda, bir matematikçi ilginç olanların ender mi yoksa yaygın mı olduğunu nasıl bilebilir? Bu açıdan, herhangi bir sayıya baktığında, bir matematikçi kesin olarak en küçük algoritmanın bulunabileceğinden emin olabilir mi?


Chaitin’e göre bunlar kritik sorulardı.


İlkini bir hesap argümanıyla yanıtladı. Sayıların çok büyük bir çoğunluğu ilginç olmamalıydı, çünkü yeterli miktarda kısa ve kestirme bilgisayar programı bulmak olanaksızdı. Hesaplayın. 1.000 bit değerinde 2 üzeri 1000 sayınız var, ama işe yarar bilgisayar programlarının 1000 bitle yazılması pek mümkün değil. Chaitin “Çok miktarda pozitif tamsayı var” diyor. ”Programların daha küçük olması gerekiyorsa, o zaman bütün bu farklı pozitif tam sayıları isimlendirmek için yeterli miktarda program bulamayız.” Dolayısıyla, belli uzunluktaki n’lerin çoğu rastgeledir.

İkinci soru çok daha çetrefilliydi. Çoğu sayının rastgele olduğunu bildiğimize göre, belli bir n sayısı verildiğinde, matematikçiler onun rastgele olduğunu kanıtlayabilirler mi? Sadece sayıya bakarak sonuç çıkaramazlar.

Çoğu kez aksini yani n’nin ilginç olduğunu kanıtlayabilirler: Bu durumda n’yi veren kısa bir algoritma bulmaları yeterli gelir. Negatif kanıt ise daha farklı bir iştir. Chaitin “Çoğu pozitif tam sayılar ilginç değilse de” diyor, “bundan asla emin olamazsınız. …

Bunu ancak çok az örnekte ispatlayabilirsiniz.”

Bunu bilek gücüyle, olası bütün algoritmaları yazıp birer birer deneyerek başarabileceğini düşünenler çıkabilir. Ancak bu denemeleri –bir algoritmanın diğer bir algoritmayı test etmesi– bir bilgisayarın gerçekleştirmesi gerekir ve bu durumda Chaitin’in gösterdiği gibi, kısa bir süre içinde ortaya Berry paradoksunun yeni bir versiyonu çıkar. Karşımıza “en küçük ilginç olmayan sayı” yerine kaçınılmaz olarak “n’nin hecelerinden daha az heceyle isimlendirilemeyeceğini kanıtlayabileceğimiz en küçük sayı” şeklinde bir ifade çıkar. (Tabii aslında burada artık pek hecelerden değil, Turing makinesi konumlarından söz ediyoruz) bu da yine başka bir tekrarlanan, kendi içine doğru bir döngü.

Bu Gödel’in tamamlanmamışlık kavramının Chaitin’e özgü versiyonu. Program boyutuyla tanımlanan karmaşıklık genelde hesaplanamaz. Milyon basamaklı gelişigüzel bir dizi verildiğinde, matematikçi bunun neredeyse kesinlikle rastgele ve kalıpsız olduğunu bilir –ama tam anlamıyla emin olamaz.




Başvurulan Kaynaklar




Hofstadter R. Douglas, (2011) Gödel, Escher, Bach: bir Ebedi Gökçe Belik (E. Akça, H. Koyukan, Çev.) İstanbul, Pinhan Yayıncılık

Barrow D. John,(2002) Olanaksızlık (N.Arık,Çev.) İstanbul, Sabancı Üniversitesi Yayınları

Penrose Roger,(1998) Bilgisayar ve Zeka (Tekin Dereli, Çev.) Ankara, Tübitak Yayınları

Gleick James,(2014) Enformasyon (Ümit Şensoy, Çev.) İstanbul, Optimist Yayınları

Barker, Stephen,(2003) Matematik Felsefesi (Yücel Dursun, Çev.) Ankara, İmge Kitabevi Yayınları





Dipnotlar




[1] Bu kanıtın teknik gösterimi için bkz: Ek-1

[2] Gödel kanıtlamasının hesaplanabilirlik kuramı içerisindeki inşası için bkz: Ek-2

[3] Bu kanıtın daha ayrıntılı bir açıklaması için bkz: Ek-3

[4] Stereotipik bir ilişkiyi anahtar ve kapı ilişkisine benzetebiliriz. Stereotipik bir ilişkide bir birçok anahtar ve birçok kapı vardır. Ancak hangi anahtarların hangi kapıları açacağı kesin olarak belirlenmiştir. Bir kapı yalnızca kendisine tahsis edilmiş olan kapıyı açabilir daha fazlasını değil. Stereotipik olmayan bir ilişki ise benim esneklik kavramıyla açıklamaya çalıştığım ilişkidir. Böyle bir ilişkide birebir eşleme yoktur ancak bu özellik yapıyı dinamik bir duruma sokmaktadır ve kesinlik kaygısını göz ardı ettiğimizde matematiksel yaratıcılığın temelini oluşturmaktadır.

[5] Substrat stereotipik olma özelliğini oluşturan temel birimdir. Yani kapı ve anahtarlardır. Bunların arasındaki ilişkiye ise stereotipik ilişki diyeceğiz.

[6] Turing makinesinin hesaplayamadığı için sonuç vermek için duramadığı önermelerin hepsi bu kapsama girer. Mekanik ya da oluşturucu ispatla çözülemeyen bu problemler adım adım işlemlemeyle çözülebilecek izlenimi yaratsa da aslında bunlar hesaplanamaz fonksiyonlardır.